MATRIK, MACAM-MACAM MATRIK DAN OPERASI MATRIK

 

MATRIK, MACAM-MACAM MATRIK DAN OPERASI MATRIK

A. Pengertian Matriks

Matriks adalah sebuah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang.

Baris pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Sedangkan Kolom pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.

Susunan bilangan dalam matriks ini diletakkan didalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”.

Dalam penamaan suatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya  matriks A,

B, C, D, ..., dan seterusnya.

Dalam matriks dikenal dengan istilah ordo. Ordo matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n) pada matriks.

contoh : Suatu matrik A dengan m baris dan n kolom ditulis

Misalnya diberikan sebuah matriks A  sebagai berikut

Matriks A diatas terdiri dari 4 baris dan 3 kolom, sehingga disebut matriks berordo 4x3 dan dapat ditulis

B. Jenis-jenis Matriks

Matriks memilik banyak jenis yang dapat dibedakan dengan ordo dan elemen-elemennya. Jenis matriks adalah sebagai berikut.

1. Matriks baris.

Matriks yang terdiri dari satu baris. Contoh :

2. Matriks kolom.

Matriks yang terdiri dari satu kolom. Contoh :

3. Matriks persegi.

Matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Contoh :

4. Matriks nol.

Matriks yang semua elemennya nol. Contoh :

5. Matriks identitas.

Matriks yang elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Contoh :

6. Matriks Skalar.

Matriks yang elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Contoh :

7. Matriks diagonal.

Matriks persegi memiliki elemen di luar diagonal utama yang bernilai nol. Contoh :

8. Matriks segitiga atas.

Matriks persegi yang elemen diagonal bawah bernilai nol. Contoh :

9. Matriks segitiga bawah.

Matriks persegi yang elemen diagonal atas bernilai nol. Contoh :

10. Transpos matriks A atau (A t).

Matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j

Misalnya, jika matriks A

maka matriks transpos dari A adalah :

C. Kesamaan Dua Matriks

Matriks A dan B dapat dikatakan sama (ditulis A=B), apabila keduanya berukuran sama dan semua unsur letaknya sama.

Jika

untuk i  adalah = 1, 2, 3, ..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n

Berbagai sifat yang berkaitan dengan kesamaan dua matrik dan tranposnya

adalah sebagai berikut

contoh :

jika matriks 

memenuhi persamaan A = B, maka tentukan x dan y

jawab :

dari A = B diperoleh

yang menghasilkan persamaan linier dua peubah

berdasarkan persamaan 1 dan 2 diperoleh x = 2 dan y = -1

serta nilai x = 2 dan y = -1 juga memenuhi persamaan (3) dan (4)

D. Operasi pada Matriks

Jika matriks A dan B berukuran sama, maka

• Penjumlahan

Jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah suatu matriks yang diperoleh dari menjumah setiap unsur seetak dari A dan B

• Perkalian dengan skalar

Hasil dari perkalian matriks A dengan skalar k, ditulis kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari perkalian konstanta k dengan setia unsur dari A

• Pengurangan

Selisih antara matriks A dan B ditulis A - B adalah suatu matriks yang diperoleh dari pengurang setiap unsur seletak dari A dan B.

Contoh :

Jika 

maka
(a). A + B
(b). 2A - 3B
(c). 2At + Bt

Jawab :
(a)

(b)

(c)

E. Perkalian Matriks

Hasil perkalian dari matriks baris ukuran 1xn dan matriks berukuran nx1 adalah matriks ukuran 1x1 yang ditentukan oleh :

Catatan :

• Jika matriks A berukuran m x p dan matriks B berukuran p x n, maka hasil kali matriks A dan B yang dinyatakan dengan AB adalah suatu matriks C yang berukuran mxn dimana cij adalah perkalian baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B
• Perkalian matriks AB hanya didefinisikan untuk kasus banyaknya kolom matris A sama dengan banyaknya baris matriks B, diluar ketentuan ini, AB tidak didefinisikan

contoh :

Pembahasan :

Matriks A2x2 dikali matriks B2x3 akan menghasilkan matriks C2x3

Tulislah sistem persamaan linier berikut sebagai perkalian matriks

                              A3x2     B2x1         C3x1

                                       A3x3       B3x1      C3x1

F. Sifat Penjumlahan dan Perkalian Matriks

Jika sebuah matriks A, B, C, matriks nol dan matriks satuan I maka untuk penjumlahan dan perkaliannya berlaku sifat berikut :

• Sifat komutatif terhadap penjumahan adalah : A + B = B + A
• Sifat assosiatif terhadap penjumlahan adalah : (A + B) + C = A + ( B + C)
• Sifat matriks nol adalah : A + 0 = A
• Sifat lawan matriks adalah : A + (-A) = 0
• Sifat asoasiatif terhadap perkalian adalah : (AB) C = A (BC)
• Sifat distributif kiri adalah : A(B + C) = AB + AC
• Sifat distributif kanan adalah : (A+B) C = AC + BC
• Sifat perkalian dengan konstanta adalah : k(AB) = (kA)B = A (kB) , dimana k konstanta real
• Sifat perkalian dengan matriks satuan adalah : AI = IA = A 

Contoh Soal :

. Dari dua buah matriks yang diberikan di bawah ini 

Tentukan 2A + B

Jawaban : 

Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan kemudian dilanjutkan dengan penjumlahan:

2. Diketahui matriks A dan B seperti di bawah ini. Jika determinan matriks A = -8, maka determinan matriks B adalah…

A. 96

B. -96

C. -64

D. 48

E. -48

Jawaban : A

Pembahasan :

Determinan A

det A = (aei + bfg + cdh) – (ceg + afh + bdi) = -8

Determinan B

→ det B = (-12aei + (-12bfg) + (-12cdh)) – (-12ceg + (-12afh) + (-12bdi))

→  det B = -12 {(aei + bfg + cdh) – (ceg + afh + bdi)}

→ det B = -12 det A

→ det B = -12 (-8)

→  det B = 96

3. Nilai z yang memenuhi persamaan di bawah ini adalah…

A. 2

B. -2

C. 4

D. 3

E. -3

Jawaban : B 

Pembahasan :

→ 2z2 – (-6) = 8 – (-z(z-1))

→ 2z2 + 6 = 8 – (-z2 + z)

→ 2z2 + 6 = 8 + z2 – z

→ z2 + z – 2 = 0

→ (z + 2)(z – 1) = 0

→ z = -2 atau z = 1 

4. Hubungan dua matriks seperti di bawah ini. Nilai a yang memenuhi persamaan  tersebut  adalah…

A. 8

B. 24

C. 64

D. 81

E. 92

Jawaban : C

Pembahasan :

2 8log a – 4a = 4a – (- 2log 6 . 6log 16)

ingat kembali sifat logaritma :

alog b . blog c = alog c

⇒ 2 8log a = 2log 16 = 4

⇒ 8log a = 2

⇒ a = 82

⇒ a = 64

5. Dua buah matriks A dan B masing-masing berturut-turut sebagai berikut: 

Jawaban : 

6. Diketahui  Tentukan a + b + c!

A. 8

B. 10

C. 12

D. 14

E. 16

Jawaban : D

Pembahasan :

a = 2 ⇒ b = 2a = 4 ⇒ c = ab = 8

a + b + c = 14

7. Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-matriks berikut ini! 

Diketahui bahwa P = Q adalah. . .

A. 12

B. 14

C. 16

D. 18

E. 20

Jawaban : C

Pembahasan :

Kesamaan dua buah matriks, terlihat bahwa

3a = 9 → a = 3

2b = 10 → b = 5

2x = 12 → x = 6

  y = 6  

y = 2

Sehingga:

a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16

8. Diketahui matriks :

Jika matriks A.B = A+C, maka nilai x+y adalah . . .

A. 2

B. 4

C. 5

D. 6

E. 8

Jawaban : D

Pembahasan : 

9. Tentukan determinan dari matriks A berikut ini 

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

E. 14

Jawaban : D

Pembahasan : 

Menentukan determinan matriks ordo 2 x 2

det A = |A| = ad − bc = (5)(2) − (1)(−3) = 10 + 3 = 13 

10. Diberikan sebuah matriks 

Tentukan invers dari matriks P

Jawaban : 

Tentukan invers dari matriks P

11. Tentukan tranpose dari matriks A berikut ini 

Jawaban : 

Transpose sebuah matriks diperoleh dengan mengubah posisi baris menjadi kolom seperti contoh berikut: 

12. Diketahui persamaan matriks

Nilai a + b + c + d =….

A. − 7 

B. − 5 

C. 1 

D. 3

E. 7 

Jawaban : D

Pembahasan 

Jumlahkan dua matriks pada ruas kiri, sementara kalikan dua matriks pada ruas kanan, terakhir gunakan kesamaan antara dua buah matriks untuk mendapatkan nilai yang diminta.

2 + a = −3 

a = − 5

4 + b = 1

b = − 3

d − 1 = 4

d = 5

c − 3 = 3

c = 6

Sehingga

a + b + c + d = −5 − 3 + 6 + 5 = 3

13. Diketahui matriks 

Apabila B − A = Ct = transpos matriks C, maka nilai x .y =….

A. 10

B. 15

C. 20

D. 25

E. 30

Jawaban : 

Transpos C diperoleh dengan mengubah posisi baris ke kolom, B − A adalah pengurangan matriks B oleh A

Akhirnya, dari kesamaan dua matriks:

y − 4 = 1

y = 5

x + y − 2 = 7

x + 5 − 2 = 7

x + 3 = 7

x = 4

x . y = (4)(5) = 20

14. Jika 

maka x + y =….

A. − 15/4

B. − 9/4

C. 9/4

D. 15/4

E. 21/4

Jawaban : 

Masih tentang kesamaan dua buah matriks ditambah tentang materi bentuk pangkat, mulai dari persamaan yang lebih mudah dulu:

3x − 2 = 7

3x = 7 + 2

3x = 9

x = 3

4x + 2y = 8

22(x + 2y) = 23

22x + 4y = 23

2x + 4y = 3

2(3) + 4y = 3

4y = 3 − 6

4y = − 3

y = − 3/4

Sehingga:

x + y = 3 + (− 3/4) = 2 1/4 = 9/4

15. Tentukan invers dari matriks 

Jawaban : 

Pembahasan :

16. Tahukah anda, mengapa suatu bentuk tertentu dikatakan sebagai matriks, apa yang bisa menjelaskan jika bentuk tersebut adalah sebuah matrik?

Jawaban :

Karena, jika bentuk tersebut terdiri dari baris, kolom, maupun keduanya yang membentuk persegi atau persegi panjang dengan ordo nxn

17. Diketahui matriks 

Jika matriks A = transpose matriks B, maka nilai a + b + c + d = . . .

Jawaban :

18. Diketahui suatu matriks

Lakukan operasi pada ketiga matriks tersebut, buktikan apa penambahan dan pengurangan matriks tersebut memiliki sifat assosiatif, (A + B)+ C = A + (B +C) dan (A – B) – C = A – (B – C)….?

Jawaban : 

19. Diketahui matriks 

nilai a dan b yang memenuhi A + 3B = C berturut-turut adalah…

Jawaban : 

20. Jika 

maka ((A+B)(A-B)) –( (A-B)(A+B)) = . . .

Jawaban : 

Harry Ramadhani

XI IPS 3

16

http://andi-lestianto.blogspot.com/2017/08/pengertian-dan-contoh-matriks-jenis.html

https://soalkimia.com/contoh-soal-matriks-determinan-dan-invers/