METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA

PEMBUKTIAN LANGSUNG

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Seperti, “kalau A maka B dan kalau B maka C”.

Soal 

Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikan bahwa n 2 adalah ganjil.

Jawab

Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga n = 2k + 1. Akan ditunjukkan bahwa n 2 ganjil. n 2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) +1. Perhatikan bahwa n 2 = 2(2k 2 + 2k) +1. Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k 2 + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n 2 adalah ganjil. 

PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG (KONTRAPOSISI)

Kontraposisi adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung. Kontraposisi memanfaatkan salah satu prinsip dalam logika matematika.

                                   

                                         

Misalnya pernyataan p adalah 7n + 9 bilangan genap dan pernyataan q adalah n bilangan ganjil. Maka yang kita buktikan adalah bila n bukan bilangan ganjil (bilangan genap), maka 7n + 9 bukan bilangan genap (bilangan ganjil). Misalkan ada bilangan genap sembarang n. Dari definisi blangan genap, n dapat dinyatakan

n = 2k, k bilangan bulat
Maka 7n+9 dapat dituliskan jadi 7 (2k)+9 atau 2 (7k)+9
2.(7k)+9=2 x (7k) + 8+ 1
=2x(7k)+2x4+1
=2 (7k+4) + 1

7k+4 pastinya merupakan bilangan bulat juga dan bisa dimisalkan m 2.(7k)+9=2m+1, m bilangan bulat

Sesuai definisi bilangan ganjil, maka 2.(7k)+9 n atau 7n+9 adalah bilangan ganjil.

Soal 

Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikan bahwa n 2 adalah ganjil.

Jawab

KONTRADIKSI

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Kita memanfaatkan logika matematika

  Jika p → q bernilai benar padahal q salah, maka p salah

Misalkan ada bilangan genap sembarang n. Dari definisi blangan genap, n dapat dinyatakan

n = 2k + 1, k bilangan bulat
Maka 7n + 9 dapat dituliskan jadi 7 (2k + 1) + 9 atau 14k + 10
14k + 10 = 2 x (7k) + 2 x 5
=2 (7k + 5)

7k + 5 pastinya merupakan bilangan bulat juga dan bisa dimisalkan m 14k + 10 = 2m

14k + 10 atau 7n + 9 dapat dinyatakan dalam 2 kali suatu bilangan bulat.Padahal itu definisi bilangan genap. Kontradiksi dengan asumsi awal 7n+9 adalah bilangan ganjil. Asumsi awal n adalah bilangan ganjil salah.

Metode Induksi Matematika 

Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli

Prinsip Induksi Matematika :

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n.

Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n.

Contoh : Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 +  … + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan

                 asli n”.

Bukti : Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2

P(1) benar, sebab 1 = 1

Bila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k- 1 + 2k+1.

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

Sehingga P(k+1) benar